这是以前做过的题目，这次学抽象代数终于学到了这里，于是重新表述一下。
问题是，在有限域
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（$p$为素数）上，如何判断一个$n$次多项式$f(x)$是不是可约多项式？m=1时，考虑多项式
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，由于这个多项式在$GF(p)$上的分裂域为$GF(p^n)$（$f(x)$在这个域上可分解，因为$[GF(p^n):GF(p)] = n$），所以$f(x)$在$GF(p)$上不可约当且仅当$f(x) | x^{p^n}-x$（这保证了$f(x)$的可分性）且$forall m’, m’ | m$，有$gcd(f(x), x^{p^m’}-x) = 1$（这保证了$f(x)$的分裂域为$GF(p^n)$。当然，这个判定还可以简单一点，因为在$GF(p^a)$上可约可以推出在$GF(p^{ka})$上可约，所以只要考虑$m$的极大约数就可以了。然后，如果$f(x)$在$GF(p)$上可约，那么必然在$GF(p^m)$上也可约。如果$f(x)$在$GF(p)$上不可约，那么如果可分，则必然在$GF(p^m)$上可约（m>n时）或不可约（m
虽然我看不懂，不过想说，像您这么学术的blog，应该支持render tex公式啊。
有道理，我去找一个插件。